Magnitudes proporcionales

Dos magnitudes son proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número natural la otra queda multiplicada o dividida (o viceversa) por el mismo número.

Ejemplo 1

Sabiendo que para preparar milkshake de chocolate para una persona se necesita 100 gramos de helado de chocolate, vamos a elaborar una tabla que presente el número de personas y la cantidad de chocolate necesario.

Así tendremos:

N° de personas	1	2	3	4	5
Cantidad de helado (g)	100	200	300	400	500

Observa que si se duplica el número de personas, la cantidad de helado también se duplica y que lo mismo sucede cuando triplicamos, cuadruplicamos, quintuplicamos la cantidad de personas.

Por lo que podemos afirmar que el número de personas y la cantidad de helado son directamente proporcionales.

Por otro lado, si dividimos la cantidad de helado entre el respectivo número de personas obtendremos una cantidad constante, es decir, la misma cantidad.

Este valor recibe el nombre de constante de proporcionalidad y se representa con la letra "k".

En nuestro ejemplo, k = 100 y representa la cantidad de helado por persona.

Ejemplo 2

Un alumno distribuye su tiempo para hacer un proyecto de modo que, si dedica 1 hora diaria a avanzarlo tardará 60 días en terminar. Elaborando una tabla en la que se muestre las horas diarias dedicadas y los días que tomará terminar la tarea tenemos:

Horas diarias	1	2	3	4	5
N° de días	60	30	20	15	12

Observa que si se duplica la cantidad de horas al día, el número de días se reduce a la mitad; si se triplica la cantidad de horas diarias, el número de días se reduce a la tercera parte y así sucesivamente.

En este caso podemos afirmar que las horas diarias y el número de días son inversamente proporcionales.

Además, si multiplicamos las horas diarias por su respectiva cantidad de días obtenemos una cantidad constante.

Así:

(60)(1) = (30)(2) = (20)(3) = (15)(4) = (12)(5)

Siendo la constante k = 60 que representa el tiempo total (en horas) que se necesita para hacer el proyecto.

Plano cartesiano

El plano cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares (ejes), es decir, que forman un ángulo de 90°.

El eje horizontal se denomina eje de abscisas o eje "x" mientras que el eje vertical se denomina eje de ordenadas o eje "y".

El punto donde se cortan los ejes se llama origen de coordenadas.

A partir de ese punto hacia arriba y hacia la derecha tendremos números positivos y hacia abajo y hacia la izquierda, números negativos.

Cada punto en el plano cartesiano se denota mediante un par ordenado, esto es, con dos números que se escriben entre paréntesis separados por una coma (o punto y coma si hay decimales), así por ejemplo tenemos el punto:

F = (2, 3)

El primer número corresponde a la posición horizontal (coordenada x) y el segundo, la posición vertical (coordenada y).

Así ubicamos el punto F en el plano.

Notas:

• Si la coordenada x es 0, el punto se encuentra sobre el eje "y". Así por ejemplo, el punto H = (0,2)

• Si la coordenada y es 0, el punto se encuentra sobre el eje "x". Así tenemos el punto G = (-3,0).

Reducción de términos semejantes

Reducir términos semejantes consiste en sumar coeficientes y mantener la parte literal.

Podemos hacerlo operando directamente o separando coeficientes y parte literal. En ambos casos operaremos paso a paso.

Ejemplo 1:

Reduce: 

Lo primero que haremos es plantear una operación en la que unamos los términos con su respectivo signo para luego operar paso a paso.

Ejemplo 2:

Reduce:

Una vez más, planteamos una suma y la efectuamos paso a paso.

Ejemplo 3:

Reduce:

En este caso, por tratarse de fracciones, vamos a separar los coeficientes colocándolos en un paréntesis siguido de la parte literal y procederemos a operar paso a paso recordando que, por tratarse de fracciones heterogéneas, primero debemos homogenizarlas.

Término algebraico

Un término algebraico es una expresión formada por números (constantes) y letras (variables) que no presenta adición ni sustracción en la que los exponentes de las letras son números racionales.

Ejemplos:

Elementos

Notas:

• Si no hay coeficiente visible, se sobreentiende que es uno.
• Si una variable no tiene exponente visible, se sabe que es uno.

Términos semejantes

Se llama así a aquellos que tienen la misma parte literal.

Por ejemplo:

Multiplicación de números enteros

Elementos: 

Los elementos de la multiplicación son dos, factores (los números que vamos a multiplicar) y producto (el resultado).

Así:

Regla de signos

Para poder multiplicar números enteros debes tener en cuenta la siguiente regla de signos:

• Si multiplicamos dos números del mismo signo el resultado es positivo.
• Si multiplicamos dos números de distinto signo el resultado es negativo.

En resumen:

Ejemplos:

Lo que haremos cuando tengamos dos factores será multiplicar sus valores absolutos y aplicar la regla de signos.

1. (+5) (+4) = +20
2. (+6)(-2) = -12
3. (-7)(+9) = -63
4. (-8)(-3) = +24

Nota

En caso se tenga más de dos factores, operamos de dos en dos.

Ejemplo 1

Ejemplo 2